Физический энциклопедический словарь - вероятности и волны.

к-рых строится теория, не единствен, поскольку К. м. описывает широчайший круг явлений и каждое из них способно дать материал для её обоснования.

Рассмотрим простейший опыт по распространению света (рис. 1). На пути пучка света ставится прозрачная пластинка S. Часть света проходит через пластинку, часть отражается от неё. Известно, что свет состоит из «ч-ц» — фотонов. Что же происходит

с отдельным фотоном при попадании его на пластинку? Если поставить опыт (напр., с пучком света крайне малой интенсивности), в к-ром можно следить за судьбой каждого фотона, то можно убедиться, что при встрече с пластинкой фотон не расщепляется на два, его индивидуальность как ч-цы сохраняется (иначе свет менял бы свою частоту). Оказывается, что нек-рые фотоны проходят сквозь пластинку, а нек-рые отражаются от неё. Если поместить такую же пластинку на пути прошедшего (или отражённого) света, то будет наблюдаться та же картина: часть фотонов пройдёт вторую пластинку, часть отразится. Следовательно, одинаковые ч-цы в одинаковых условиях могут вести себя по-разному, т. е. поведение фотона при встрече с пластинкой не предсказуемо однозначно. Детерминизма в том смысле, как это понимается в классич. механике, при движении фотонов не существует. Этот вывод явл. одним из отправных пунктов для устранения противоречия между корпускулярными и волн. св-вами ч-ц и построения теории квантовомеханич. явлений.

Волн. теория легко объясняет отражение света от прозрачной пластинки и прохождение через неё, однозначно предсказывая отношение интенсивностей прошедшего и отражённого света. С корпускулярной точки зрения интенсивность света пропорц. числу фотонов, следовательно, волн. оптика позволяет определить отношение чисел прошедших (n1) и отражённых (N2) фотонов, N1/N2(N1+N2)=N—полное число падающих на пластинку фотонов). Поведение же одного фотона, естественно, ею не описывается. Отражение фотона от пластинки или прохождение через неё — случайные события: нек-рые фотоны проходят через пластинку, нек-рые отражаются от неё, но при большом N отношение N1/N2 находится в согласии с предсказанием волн. оптики. Количественно закономерности, проявляющиеся при случайных событиях, описываются с помощью теории вероятностей. Фотон может с вероятностью w1 пройти через пластинку и с

254

вероятностью w2 отразиться от неё, так что в ср. пройдёт пластинку w1N ч-ц, а отразится w2N ч-ц. Если N очень велико, то средние (ожидаемые) значения чисел ч-ц точно совпадают с истинными. Все соотношения оптики могут быть переведены с языка интенсивностей на язык вероятностей, и тогда они будут относиться к поведению одного фотона. Вероятность того, что с фотоном произойдёт одно из двух альтернативных (взаимоисключающих) событий — прохождение или отражение, равна w1+w2=1. Это закон сложения вероятностей, соответствующий сложению интенсивностей. Вероятность прохождения через две одинаковые пластинки равна w²1, а вероятность прохождения через первую и отражения от второй — w1w2 (что соответствует разделению света второй пластинкой на прошедший и отражённый в том же отношении, что и первой). Это закон умножения вероятностей, справедливый для независимых событий. Аналогичные опыты с пучком эл-нов или др. микрочастиц также показывают непредсказуемость поведения отд. ч-цы. Однако не только прямые опыты говорят в пользу того, что и в самом общем случае следует перейти к вероятностному описанию поведения микрочастиц. Теоретически невозможно представить, что одни микрочастицы описываются вероятностно, а другие классически: вз-ствие «классич.» ч-ц с «квантовыми» с необходимостью приводило бы к внесению квант. неопределённостей и делало бы поведение «классич.» ч-ц также непредсказуемым (в смысле классич. детерминизма). Т. о., возможная формулировка задачи К. м.— предсказание вероятностей разл. процессов (в отличие от классич. механики, предсказывающей

в принципе достоверные события). Вероятностное описание возможно и в классич. механике: когда нач. условия заданы не точно, а с нек-рой степенью неопределённости, то и предсказания будут содержать неопределённости, т. е. носить в той или иной степени вероятностный хар-р. Примером служит классич. статистич. физика, оперирующая с усреднёнными величинами. Поэтому дистанция между строем мысли квант. и классич. механики была бы не столь велика, если бы осн. понятиями К. м. были именно вероятности. Чтобы выяснить радикальное различие между К. м. и классич. механикой, усложним рассмотренный выше опыт по отражению света. Пусть отражённый пучок света (или микрочастиц) при помощи зеркала 3

(рис. 2) меняет направление и попадает в ту же область А (напр., в тот же детектор, регистрирующий фотоны), что и прошедший пучок. Естественно было бы ожидать, что в этом случае измеренная интенсивность равна сумме интенсивностей прошедшего и отражённого пучков. Однако известно, что в результате интерференции света интенсивность в зависимости от расположения зеркала и детектора может меняться в довольно широких пределах и даже обращаться в ноль (пучки как бы гасят друг друга). Что же можно сказать о поведении отд. фотона в пнтерференц. опыте? Вероятность его попадания в данный детектор существенно перераспределится по сравнению с первым опытом (рис. 1) и не будет равна сумме вероятностей прихода фотона в детектор первым и вторым путями, т. е. эти два пути не явл. альтернативными. Т. о., наличие двух возможных путей прихода фотона от источника к детектору существ. образом влияет на распределение вероятностей, и поэтому нельзя сказать, каким путём прошёл фотон от источника к детектору. Приходится считать, что он одновременно мог прийти двумя разл. путями. Аналогичный опыт, проведённый с пучками др. микрочастиц, даёт тот же результат. Возникающие представления действительно радикально отличаются от классических: невозможно представить себе движение ч-цы одновременно по двум путям. Но К. м. и не ставит такой задачи. Она лишь предсказывает результаты опытов с пучками ч-ц. Подчеркнём, что в данном случае не высказывается никаких гипотез, а даётся лишь интерпретация волн. опыта с точки зрения корпускулярных представлений. Полученный результат означает невозможность классич. описания движения ч-ц по траекториям, отсутствие наглядности квант. описания.

Попытаемся всё же выяснить, каким путём прошла ч-ца, поставив на возможных её путях детекторы. Естественно, что ч-ца будет зарегистрирована в к.-л. одном детекторе. Но как только измерение выделит определ. траекторию ч-цы, интерференц. картина исчезнет. Распределение вероятностей станет другим. Для возникновения интерференции нужны обе (все) возможные траектории. Т. о., регистрация траектории ч-цы так изменяет условия, что два пути становятся альтернативными, и в результате получается сложение интенсивностей (или вероятностей), к-рое было бы в случае «классич.» ч-ц, движущихся по определ. траекториям.

Для квант. явлений очень важно точное описание условий опыта, в к-рых наблюдается данное явление. В условия, в частности, входят и измерит. приборы. В классич. физике предполагается, что состояние системы при измерении не меняется. В квант. физике такое предположение

несправедливо: измерит. прибор сам участвует в формировании изучаемого на опыте явления, и эту его роль нельзя не учитывать. Роль измерит. прибора в квант. явлениях была всесторонне проанализирована Бором и Гейзенбергом. Она тесно связана с соотношением неопределённостей (см. ниже).

Внимание к роли измерений не означает, что в К. м. не изучаются физ. явления безотносительно к приборам, напр. св-ва ч-ц «самих по себе». Примерами могут служить решаемые К. м. задачи об уровнях энергии атомов, о рассеянии микрочастиц при их столкновениях, об интерференц. явлениях. Роль прибора выступает на первое место тогда, когда ставятся специфич. вопросы, лишённые, как выяснилось, смысла, напр. вопрос о том, по какой траектории двигался эл-н в интерференц. опыте (т. к. либо нет траектории, либо нет интерференции) .

Интерференц. опыт, как и опыт по отражению света, легко объясняется на основе волн. оптики. В оптике каждая волна характеризуется не только интенсивностью I или амплитудой А (I ~ А²), но и фазой . Совокупность действит. величин А и  принято объединять в одно комплексное число — комплексную амплитуду: =Ae^i. Тогда I=||²=•=A², где

* — ф-ция, комплексно сопряжённая с . Т..к. непосредственно измеряется именно интенсивность, то для одной волны фаза не проявляется. В опыте с прохождением и отражением света (рис. 1) ситуация именно такая: имеются две волны с комплексными амплитудами 1 и 2, но одна из них существует только справа, а другая только слева от пластинки; интенсивности этих волн I1=A²1, I2=A²2, т. е.

фазы не фигурируют. В интерференц. опыте (рис. 2) ситуация иная: волна с амплитудой 2 с помощью зеркала попадает в область нахождения волны с амплитудой 1. Волн. поле в области существования двух волн определяется с помощью принципа суперпозиции: волны складываются с учётом их фаз. Амплитуда суммарной волны

 равна сумме комплексных амплитуд обеих волн:

=1+2=A1е^i1+A2е^i2. (3)

Интенсивность суммарной волны зависит от разности фаз 1-2 (к-рая пропорц. разности хода световых пучков по двум путям):

||² = |А1е^i2+A2е^i2|²=A²1+A²2+ 2A1A2cos(1-2). (4)

Если А1=А2 и cos(1-2)=-1, то ||²=0. В более общем случае из-за изменения условий опыта (напр., св-в зеркала) амплитуды могут изменяться по величине и фазе, так что

255

комплексной амплитудой суммарной волны будет =c11+с22, где c1 и с2 — комплексные числа. Суть явления при этом остаётся прежней. Хар-р явления не зависит также от общей интенсивности. Если увеличить  в С раз (С может быть как комплексным, так и действительным), то интенсивность увеличится в |С|² раз, т. е. |С|² будет общим множителем в ф-ле распределения интенсивностей.

Для интерпретации волн. явлений с корпускулярной точки зрения необходимо перенесение принципа суперпозиции в К. м. Поскольку К. м. имеет дело не с интенсивностями, а с вероятностями, следует ввести амплитуду вероятности =Ae^i, полагая (по аналогии с оптич. волнами), что вероятность w=|C|²=|C|²*. Здесь С — число, наз. нормировочным множителем, к-рый должен быть подобран так, чтобы суммарная вероятность обнаружения ч-цы во всех возможных местах равнялась единице, т.е. iwi=1. Множитель С определён только по модулю, фаза его произвольна. Нормировочный множитель важен только для определения абс. вероятности; относит. вероятности определяются амплитудами вероятности в произвольной нормировке. Амплитуда вероятности наз. в К. м. волновой функцией. Амплитуды вероятности, как и оптич. амплитуды, удовлетворяют принципу суперпозиции: если 1 и 2 — амплитуды вероятности прохождения ч-цы соотв. первым и вторым путём, то амплитуда вероятности для случая, когда осуществляются оба пути, должна быть равна: =1+2. Тем самым фраза: «Ч-ца прошла двумя путями», приобретает волн. смысл, а вероятность w=|1+2|² обнаруживает интерференц. св-ва.

Следует подчеркнуть, что смысл, вкладываемый в понятие суперпозиции в оптике (и др. волн. процессах) и в К. м., различен. Сложение (суперпозиция) обычных волн не противоречит наглядным представлениям, т. к. каждая из волн представляет возможный тип колебаний и суперпозиция соответствует сложению этих колебаний в каждой точке. Квантово-механические же амплитуды вероятности описывают альтернативные, с классич. точки зрения исключающие друг друга движения (напр., волны 1 и 2 соответствуют ч-цам, приходящим в детектор двумя разл. путями). Сложение таких движений совершенно непонятно с позиции классич. физики. В этом проявляется отсутствие наглядности квантовомеханич. принципа суперпозиции. Избежать формального логич. противоречия этого принципа в К. м. (возможность для ч-цы пройти одновременно двумя путями) позволяет вероятностная интерпретация. Постановка опыта

по определению пути ч-цы приведет к тому, что с вероятностью |1|² ч-ца пройдёт первым и с вероятностью |2|² — вторым путём; суммарное распределение ч-ц на экране будет определяться вероятностью |1|²+|²l'², т. е. интерференция исчезнет.

Т. о., рассмотрение интерференц. опыта приводит к след. выводам. Величиной, описывающей состояние физ. системы в К. м., явл. амплитуда вероятности, или волн. ф-ция системы; осн. черта такого квантовомеханич. описания — предположение о справедливости принципа суперпозиции состояний.

В общем виде принцип суперпозиции утверждает, что если в данных условиях возможны разл. квант. состояния ч-цы (или системы ч-ц), к-рым соответствуют волн. ф-ции 1, 2,..., i..., то существует и состояние, описываемое волн. ф-цией icii, где ci — произвольные комплексные числа. Если i описывают альтернативные состояния, то |ci|² определяет вероятность того, что система находится в состоянии с волн. ф-цией i и

|ci|²=1.

Волны де Бройля и соотношение неопределённостей. Одна из осн. задач К. м.— нахождение волн. ф-ции, отвечающей данному состоянию изучаемой системы. Рассмотрим решение этой задачи на простейшем (но важном) случае свободно движущейся ч-цы. Согласно де Бройлю, со свободной ч-цей, имеющей импульс р, связана волна с длиной =h/p. Это означает, что волн. ф-ция свободной ч-цы (z) — волна де Бройля — должна быть такой ф-цией координаты х, чтобы при изменении x на  волн. ф-ция  возвращалась к прежнему значению: (x+)=(x). Таким св-вом обладает ф-ция e^i2x/=e^lkx, где k=2/ — волн. число. Т. о., состояние ч-цы с определ. импульсом p=(h/2)k=ћk описывается волновой ф-цией:

=Ce^ikx=Ce^ipx/Ћ, (5)

где С — постоянное комплексное число. Квадрат модуля волн. ф-ции, ||², не зависит от х, т. е. вероятность нахождения ч-цы, описываемой такой , в любой точке пр-ва одинакова. Другими словами, ч-ца со строго определ. импульсом совершенно нелокализована. Конечно, такая ч-ца — идеализация (но идеализацией явл. и волна со строго определ. длиной волны, а следовательно, и строгая определённость импульса ч-цы). Поэтому точнее сказать иначе: чем более определённым явл. импульс ч-цы, тем менее определённо её положение (координата). В этом заключается специфический для К. м. принцип неопределённости. Чтобы получить количеств. выражение этого принципа — соотношение неопределённостей, рассмотрим состояние, представляющее собой суперпозицию нек-рого (точнее, бесконечно большого) числа де-бройлевских волн с близкими k, заключёнными в малом интервале k. Получающаяся в результате суперпозиции волн. ф-ция (x), наз. волновым пакетом, имеет такой хар-р: вблизи нек-рого фиксиров. значения x0 все амплитуды сложатся, а вдали от х0(|х—х0|>>) будут гасить друг друга из-за большого разнобоя в фазах. Оказывается, что практически такая волн. ф-ция сосредоточена в области шириной Ах, обратно пропорц. интервалу k, т. е. x1/k, или xpЋ, где р=ћk:—неопределённость импульса ч-цы. Это соотношение и представляет собой соотношение неопределённостей Гейзенберга.

Математически любую ф-цию (x) с помощью преобразования Фурье можно представить как наложение простых периодич. волн, при этом соотношение неопределённостей между х и k получается математически строго. Точное соотношение имеет вид неравенства x^l/2, или

рхћ/2, (6)

где под неопределённостями Ар и Ах понимаются среднеквадратичные отклонения импульса и координаты от их ср. значений (т. е. дисперсии). Физ. интерпретация соотношения (6) заключается в том, что (в противоположность классич. механике) не существует такого состояния, в к-ром координата и импульс ч-цы имеют одновременно точные значения. Масштаб их неопределённостей задаётся постоянной Планка Ћ. Если неопределённости, связанные соотношением Гейзенберга, можно считать в данной задаче малыми и пренебречь ими, то движение ч-цы будет описываться законами классич. механики — как движение по определ. траектории.

Принцип неопределённости — фундам. принцип К. м., устанавливающий физ. содержание и структуру её матем. аппарата. Кроме того, он играет большую эвристич. роль, т. к. мн. результаты задач, рассматриваемых в К. м., могут быть получены и поняты на основе комбинации законов классич. механики с соотношением неопределённостей. Важный пример — проблема устойчивости атома. Рассмотрим эту задачу для атома водорода. Пусть эл-н движется вокруг ядра (протона) по круговой орбите радиуса r со скоростью v. По закону Кулона, сила притяжения эл-на к ядру равна е²/r², где е — заряд эл-на, а центростремит. ускорение равно v²/r. По второму закону Ньютона, mv²/r=е²/r², где m — масса эл-на, т. е. радиус орбиты r=e²/mv² может быть сколь угодно малым, если v достаточно велика. Но в К. м. должно выполняться соотношение неопределённостей. Если допустить неопределённость положения эл-на в пределах радиуса его орбиты r, а неопределённость скорости — в пределах v, т. е. импульса в пределах p=mv, то соотношение не-

256

определённостей примет вид: mvrћ. Учитывая связь между v и r, получим vе²/ћ и rћ²/me². Следовательно, движение эл-на по орбите с r<r0=ћ²/me² 0,5•10^-8 см невозможно: эл-н не может упасть на ядро — атом устойчив. Величина r0 и явл. радиусом атома водорода (боровским радиусом). Ему соответствует максимально возможная энергия связи атома ξ0 (равная полной энергии эл-на в атоме, т. е. сумме кинетич. энергии mv²/2 и потенц. энергии — е²/r0, что составляет: ξ0=-е²/2r013,6 эВ), определяющая его мин. энергию — энергию осн. состояния.

Т. о., квантовомеханич. представления впервые дали возможность теоретически оценить размеры атома, выразив его радиус через мировые постоянные ћ, т, е. «Малость» ат. размеров оказалась связанной с тем, что мала ћ.

Строгое решение задачи о движении эл-на в атоме водорода получается из квантовомеханич. ур-ния движения — ур-ния Шредингера (см. ниже); решение ур-ния Шредингера даёт волн. ф-цию , к-рая описывает состояние эл-на, находящегося в области притяжения ядра. Но и не зная явного вида , можно утверждать, что эта волн. ф-ция представляет собой такую суперпозицию волн де Бройля, к-рая соответствует локализации эл-на в области размером r0 и разбросу по импульсам р ~ ћ/r0.

Соотношение неопределённостей позволяет также понять устойчивость молекул и оценить их размеры и мин. энергию, объясняет св-ва гелия, к-рый при норм. давлении ни при каких темп-pax не превращается в тв. состояние, даёт качеств. представления о структуре и размерах ядра и т. д.

Стационарное уравнение Шредингера. Волны де Бройля описывают состояние ч-цы только в случае свободного движения. Если на ч-цу действует поле сил с потенц. энергией V, зависящей от координат ч-цы, то её волн. ф-ция  определяется дифф. ур-нием, к-рое получается путём след. обобщения гипотезы де Бройля. Для случая одномерного свободного движения ч-цы (вдоль оси х) с пост. энергией ξ ур-ние, к-рому удовлетворяет волна де Бройля (5), может быть записано в виде:

где р=2mξ — импульс свободно движущейся ч-цы массы m. Если ч-ца с энергией ξ движется в потенц. поле, не зависящем от времени, то квадрат её импульса (определяемый законом сохранения энергии) равен: р²=2m[ξ-V(x)]. Простейшим обобщением ур-ния (*) явл. поэтому ур-ние

Оно наз. стационарным (не зависящим от времени) уравнением Шрёдингера и относится к осн. ур-ниям К. м. Решение этого ур-ния зависит от вида сил, т. е. от вида потенциала, определяющего V(x). Рассмотрим два типичных случая.

1) Потенциальная стенка:

V=0 при х<0, V=v1>0 при х>0.

Если полная энергия ч-цы больше высоты стенки, т. е. ξ>V, и ч-ца движется слева направо (рис. 3), то решение ур-ния (7) в области x<0 имеет вид двух волн де Бройля — падающей и отражённой:

где ћ²k²0/2m=p²0/2m=ξ (волна с волн. числом k-=-k0 соответствует движению справа налево с тем же импульсом р0),

а при х > 0 — проходящей волны де Бройля:

=C1e^ik1x,

где ћ²k²1/2m=p²1l2m=ξ-V1. Отношения |C1/C0|² и |С'0/С0|² определяют вероятности прохождения ч-цы над стенкой и отражения от неё. Наличие отражения (т. н. надбарьерное отражение) — специфически квантовомеханическое (волновое) явление (аналогичное частичному отражению световой волны от границы раздела двух прозрачных сред): «классич.» ч-ца свободно проходит над таким барьером (стенкой), и лишь импульс её уменьшается до значения р1=((2m(e-V1)).

Если ξ<V (рис. 4, a), то кинетич. энергия ч-цы ξ-V в области x>0 отрицательна. В классич. механике это невозможно, и ч-ца не заходит в такую область пр-ва — она отражается от потенц. стенки. Волн. движение имеет др. хар-р. Отрицат. значение k²(p²/2m.=ћ²k²/2m<0) означает, что k — чисто мнимая величина, k=i, где  вещественно. Поэтому волна e^ikx превращается в е^-x, т. е. колебат. режим сменяется затухающим (>0, иначе получился бы лишённый физ. смысла неогранич. рост волны с увеличением х). Под энергетич. схемой на рис. 4,а (и рис. 4, б) изображено качеств. поведение (x), точнее, её действит. части.

2) Две области, свободные от сил, разделены прямоуг. потенциальным барьером, и ч-ца движется к барьеру слева с энергией ξ<V (рис. 4, б). Согласно классич. механике, ч-ца отразится от барьера; согласно К. м.,

волн, ф-ция не равна нулю и внутри барьера, а справа, если барьер не слишком широк, будет опять иметь вид волны де Бройля с тем же импульсом (т. е. с той же частотой, но, конечно, с меньшей амплитудой). Следовательно, ч-ца может пройти сквозь

барьер. Коэфф. (или вероятность) проникновения будет тем больше, чем меньше ширина и высота (чем меньше разность V-ξ) барьера. Этот типично квантовомеханич. эффект, наз. туннельным эффектом, имеет большое значение в практич. приложениях К. м. Он объясняет, напр., явление альфа-распада (вылет из радио-акт. ядер -частиц). В термояд. реакциях, протекающих при темп-рах в десятки и сотни млн. градусов, осн. масса реагирующих ядер преодолевает электростатическое (кулоновское) отталкивание и сближается на расстояния порядка действия яд. сил в результате туннельных переходов. Туннельный эффект объясняет также автоэлектронную эмиссию, контактные явления в металлах и ПП и мн. др. Уровни энергии. Рассмотрим поведение ч-цы в поле произвольной потенциальной ямы (рис. 5). Пусть V(x)0 в нек-рой огранич. области, причём V(x)<0 (что соответствует силам притяжения). Как классическое, так и квант. движение существенно различны в зависимости от того, положительна или отрицательна полная энергия ξ ч-цы.

При ξ>0 «классич.» ч-ца проходит над ямой и удаляется от неё. В отличие от классич. случая, при квантовомеханич. движении происходит частичное отражение волны от ямы; при этом возможные значения энергии ч-цы ничем не ограничены — её энергия имеет непрерывный спектр. При ξ<0 ч-ца оказывается «запертой» внутри ямы. В классич. механике эта ограниченность области движения абсолютна и возможна при любых значениях ξ<0. В К. м. ситуация иная.

257

Волн. ф-ция должна затухать по обе стороны от ямы, т. е. иметь вид е^-. Однако решение, удовлетворяющее этому условию, существует не при всех значениях ξ, а только при определённых дискретных значениях. Число таких дискр. значений ξn может быть конечным или бесконечным, но всегда счётно, т. е. может быть перенумеровано, и всегда имеется низшее значение ξ0, лежащее выше дна потенц. ямы; номер решения n наз. квант. числом. Т. о., энергия ч-цы (или физ. системы) имеет дискретный спектр. Дискретность допустимых значений энергии системы (или соответствующих частот =-ξn/ћ, где =2 — круговая частота) — типично волн. явление. Его аналогии наблюдаются в классич. физике, когда волн. движение происходит в огранич. пр-ве. Так, частоты колебаний струны или частоты эл.-магн. волн в объёмном резонаторе дискретны и определяются размерами и св-вами границ области, в к-рой происходят колебания. Действительно, математически ур-ние Шредингера подобно соответствующим ур-ниям для струны или резонатора. Проиллюстрируем дискр. спектр

энергии на примере квант. осциллятора. На рис. 6 по оси абсцисс отложено расстояние ч-цы от положения

равновесия. Кривая (парабола) изображает собой потенц. энергию ч-цы. В этом случае ч-ца при всех энергиях «заперта» внутри ямы, поэтому спектр энергии дискретен. Горизонтальные прямые изображают уровни энергии ч-цы. Энергия низшего уровня ξ=Ћ/2 — наименьшее значение энергии, совместимое с соотношением неопределённостей: положение ч-цы на дне ямы (ξ=0) означало бы точное равновесие, при к-ром x=0 и р=0, что невозможно, согласно принципу неопределённости. Следующие, более высокие уровни энергии осциллятора расположены на равных расстояниях с интервалом Ћ; ф-ла для энергии n-го уровня:

Над каждой горизонтальной прямой на рис. 6 приведена действит. часть волн. ф-ции данного состояния. Характерно, что число узлов волн. ф-ции равно квант. числу n уровня энергии. За пределами ямы волн. ф-ция быстро затухает.

В общем случае каждая квантовомеханич. система характеризуется своим энергетич. спектром. В зависимости от вида потенциала поля, определяющего потенц. энергию ч-цы (а следовательно, от хар-ра вз-ствия в системе), энергетич. спектр может быть либо дискретным (как у осциллятора), либо непрерывным (как у свободной ч-цы), либо частично дискретным, частично непрерывным (напр., уровни атома при энергиях возбуждения, меньших энергии ионизации, дискретны, а при больших энергиях — непрерывны).

Особенно важен случай, когда наинизшее значение энергии, соответствующее осн. состоянию системы, лежит в области дискр. спектра и, следовательно, осн. состояние отделено от первого возбуждённого состояния энергетич. интервалом, наз. энергетической щелью. Такая ситуация характерна для атомов, молекул, ядер и др. квант. систем. Благодаря энергетич. щели внутр. структура системы не проявляется до тех пор, пока обмен энергией при её вз-ствиях с др. системами не превысит определ. значения — ширины щели. Поэтому при огранич. обмене энергией сложная система (напр., ядро или атом) ведёт себя как бесструктурная ч-ца (матер. точка). Это имеет первостепенное значение для понимания, в частности, особенностей теплового движения ч-ц. Так, при энергиях теплового движения, меньших энергии возбуждения атома, ат. эл-ны не могут участвовать в обмене энергией и не дают вклада в теплоёмкость.